Question

如图，A，B，C为⊙O上的三点，且有

AB

=

BC

=

CA

，连接AB，BC，AC．
（1）试确定三角形ABC的形状并说明理由；
（2）若⊙O的半径为1，求BC的长．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系,等边三角形的判定与性质,垂径定理

专题：计算题

分析：（1）根据圆心角、弧、弦的关系，由

AB

=

BC

=

CA

得到AB=BC=AC，则可判断△ABC的形状；
（2）作OB⊥BC于D，连结OB，如图，由△ABC为等边三角形得到点O为△ABC的内心，则∠OBD=30°，根据垂径定理得到BD=CD，然后在Rt△OBD中利用含30度的直角三角形三边的关系计算出OD=

1

2

OB=

1

2

，BD=

3

OD=

3

2

，所以BC=

3

．

解答：解：（1）△ABC为等边三角形．理由如下：
∵

AB

=

BC

=

CA

，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形；
（2）作OB⊥BC于D，连结OB，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴点O为△ABC的内心，
∴∠OBD=30°，
∵OD⊥BC，
∴BD=CD，
在Rt△OBD中，∵∠OBD=30°，
∴OD=

1

2

OB=

1

2

，
∴BD=

3

OD=

3

2

，
∴BC=2BD=

3

．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质和垂径定理．