如图.直线y=kx+2与x轴.y轴分别于A.B两点.其中$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$.点C.D分别为直线l:y=$\frac{1}{2}$x+1与x轴.y轴的交点．(1)求A点的坐标和k的值,(2)在直线l上存在一点P.使得S△AOB=$\frac{2}{3}$S△APB.求点P的坐标．(3)点M是直线l上的一个动点.那么在x轴上是否存在点N.使得△MON为等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．如图，直线y=kx+2与x轴、y轴分别于A，B两点，其中$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，点C，D分别为直线l：y=$\frac{1}{2}$x+1与x轴、y轴的交点．
（1）求A点的坐标和k的值；
（2）在直线l上存在一点P，使得S_△AOB=$\frac{2}{3}$S_△APB，求点P的坐标．
（3）点M是直线l上的一个动点，那么在x轴上是否存在点N，使得△MON为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M以及对应的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）求出点B坐标，根据OA=2OB，推出点A坐标，把A（4，0）代入直线y=kx+2即可解决问题．
（2）如图1中，设P（m，$\frac{1}{2}$m+1）．分两种情形①当P在AB上方时，根据${S}_{△{P}_{1}AB}$=${S}_{△{P}_{1}BO}$+${S}_{△{P}_{1}OA}$-S_△AOB计算即可．②当P在AB下方，与C重合时，满足S_△AOB=$\frac{2}{3}$S_△APB．
（3）存在，分三种情形讨论即可：①如图2中，作∠AOB的平分线交CD于点M．易知M（2，2），作MN⊥OM交x轴于N，作MN′⊥OA于N′．则△OMN′是等腰直角三角形；△OMN是等腰直角三角形．②如图3中，当点M与D重合时，在x轴上截取ON=OM，ON′=OM=2，此时△MON′是等腰直角三角形，△MON是等腰直角三角形，③如图4中，作OM平分∠BOC交CD于M．易知M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），作MN⊥x轴于N，作MN′⊥OM交OC于N′．则△OMN′是等腰直角三角形，△OMN是等腰直角三角形．

解答解：（1）∵直线y=kx+2与y轴分别于B点，
∴B（0，2），
∴OB=2，
∵OA=2OB，
∴OA=4，
∴A（4，0），
把A（4，0）代入直线y=kx+2得到k=-$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+2．
∴A（4，0），k=-$\frac{1}{2}$．

（2）如图1中，设P（m，$\frac{1}{2}$m+1）．

①当P在AB上方时，
∵${S}_{△{P}_{1}AB}$=${S}_{△{P}_{1}BO}$+${S}_{△{P}_{1}OA}$-S_△AOB，
∴$\frac{2}{3}$×[$\frac{1}{2}$×2×m+$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{1}{2}$m+1）-$\frac{1}{2}$×4×2]=$\frac{1}{2}$×4×2，
解得m=4，此时点P坐标为（4，3）．

②当P在AB下方，与C重合时，
满足S_△AOB=$\frac{2}{3}$S_△APB
此时点P坐标（-2，0）．

（3）存在．理由如下：
①如图2中，作∠AOB的平分线交CD于点M．易知M（2，2），作MN⊥OM交x轴于N，作MN′⊥OA于N′．

则△OMN′是等腰直角三角形，M（2，2），N′（2，0）；△OMN是等腰直角三角形，M（2，2），N（4，0）．
②如图3中，当点M与D重合时，在x轴上截取ON=OM，ON′=OM=2，
此时△MON′是等腰直角三角形，此时M（0，1），N′（-1，0）；△MON是等腰直角三角形，此时M（0，1），N（1，0）．

③如图4中，作OM平分∠BOC交CD于M．易知M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），作MN⊥x轴于N，作MN′⊥OM交OC于N′．

则△OMN′是等腰直角三角形，M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），N′（-$\frac{4}{3}$，0）；△OMN是等腰直角三角形，M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），N（-$\frac{2}{3}$，0）．