Question

4．如图1，AB是半圆O的直径，且AB=4，点P（不与点A、B重合）为半圆上一点．将图形沿BP折叠，分别得到点A、O的对称点A′，O′．设∠ABP=α．
（1）当α=10°时，∠ABA′=20°，当点O′落在$\widehat{PB}$上时，α的度数为30°；
（2）如图2，当BA′与⊙O相切时，求折痕的长；
（3）若线段BO′与半圆只有一个公共点B，确定α的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质可知∠ABA′=2∠ABP，可求得答案；当O′落在$\widehat{PB}$上时，连接OO′，则OO′⊥PB，可证得△OO′B为等边三角形，可求得答案；
（2）由切线的性质结合折叠的性质可求得∠ABP=45°，连接AP，在Rt△ABP中，由勾股定理可求得BP；
（3）由（2）可知当A′B与半圆相切时可知有一个交点，当P点向点B靠近时，则α逐渐变大，当点P与B重合时，达到最大值，可求得α的范围．

解答 解：
（1）由折叠的性质可知∠A′BP=∠ABP=α，
∴∠ABA′=2∠ABP=2α=2×10°=20°；
当O′落在$\widehat{PB}$上时，连接OO′，如图1，则OO′⊥PB，

∵∠A′BP=∠ABP，
∴OB=O′B=OO′，
∴△OO′B为等边三角形，
∴∠ABA′=60°，
∴α=30°，
故答案为：20；30；
（2）当BA′与⊙O相切时，则∠ABA′=90°，
∴∠ABP=45°，
连接AP，如图2，则∠APB=90°，且AP=PB，

∵AB=4，
∴BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
即折痕的长为2$\sqrt{2}$；
（3）由（2）可知当A′B与半圆相切时可知有一个交点，
此时∠ABP=45°，即α=45°，
当P点向点B靠近时，则α逐渐变大，当点P与B重合时，达到最大值，
此时∠ABP=90°，
∵P与B不重合，
∴α的取值范围为：45°≤α＜90．

点评 本题为圆的综合问题，涉及折叠的性质、等边三角形的判定和性质、切线的性质、等腰直角三角形、勾股定理等知识点．在（1）中的第二个空中证得△OO′B为等边三角形是解题的关键，在（2）中求得∠ABP=45°是解题的关键，在（3）中确定出满足条件的点P的两个极端位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合较强，难度适中．