Question

4．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=15cm，点M从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点N从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点M和N分别以每秒2m和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作ME⊥l于E，NF⊥l于F．设运动时间为t秒，要使以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为$\frac{23}{5}$或7或8．

Answer 1

分析 易证∠MEC=∠CFN，∠MCE=∠CNF．只需MC=NC，就可得到△MEC与△CFN全等，然后只需根据点M和点N不同位置进行分类讨论即可解决问题．

解答 解：①当0≤t＜4时，点M在AC上，点N在BC上，如图①，
此时有AM=2t，BN=3t，AC=8，BC=15．
当MC=NC即8-2t=15-3t，
解得t=7，不合题意舍去；
②当4≤t＜5时，点M在BC上，点N也在BC上，如图②，
若MC=NC，则点M与点N重合，即2t-8=15-3t，
解得t=$\frac{23}{5}$；
③当5≤t＜$\frac{23}{3}$时，点M在BC上，点N在AC上，如图③，
当MC=NC即2t-8=3t-15，
解得t=7；
④当$\frac{23}{3}$≤t＜$\frac{23}{2}$时，点N停在点A处，点M在BC上，如图④，
当MC=NC即2t-8=8，
解得t=8；
综上所述：当t等于$\frac{23}{5}$或7或8秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等．
故答案为：$\frac{23}{5}$或7或8．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定以及分类讨论的思想，可能会因考虑不全面而出错，是一道易错题．