Question

17．若以圆内接四边形ABCD的各边为弦作任意圆，求证：这些圆相交的四点共圆．

Answer 1

分析 连接BP、DR，并延长BP、DR，由圆内接四边形的外角等于内对角，得出∠EPS=∠SAB，∠EPQ=∠QCB，∠FRQ=∠QCD，∠FRS=∠SAD，证出∠SPQ+∠SRQ=∠BAD+∠BCD，由圆内接四边形的性质得出∠BAD+∠BCD=180°，得出∠SPQ+∠SRQ=180°，即可得出结论．

解答 证明：连接BP、DR，并延长BP、DR，如图所示：
∵圆内接四边形的外角等于内对角，
∴∠EPS=∠SAB，∠EPQ=∠QCB，∠FRQ=∠QCD，∠FRS=∠SAD，
∴∠EPS+∠EPQ+∠FRQ+∠FRS=∠SAB+∠QCB+∠QCD+∠SAD=∠BAD+∠BCD，
∴∠SPQ+∠SRQ=∠BAD+∠BCD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠SPQ+∠SRQ=180°，
∴S、P、Q、R四点共圆．

点评 本题是四点共圆的综合题目，考查了圆内接四边形的性质、四点共圆的判定方法；熟练掌握圆内接四边形的性质，证明四边形PQRS的对角互补是解决问题的关键．