Question

若a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程：4x²+4（a²+b²+c²）x+3（a²b²+b²c²+c²a²）=0有两个相等的实数根，试证△ABC是等边三角形．

Answer 1

考点：根的判别式,因式分解的应用

专题：

分析：由方程有两个相等的实数根，得△=16（a²+b²+c²）²-4×4×3（a²b²+b²c²+c²a²）=0，得a⁴+b⁴+c⁴-a²b²-a²c²-b²c²=0，两边乘以2，然后进行配方得，（a²-b²）²+（b²-c²）²+（c²-a²）²=0，所以有a=b=c，即△ABC是等边三角形．

解答：证明：由题得，△=16（a²+b²+c²）²-4×4×3（a²b²+b²c²+c²a²）=0，
所以有，a⁴+b⁴+c⁴-a²b²-a²c²-b²c²=0，2（a⁴+b⁴+c⁴-a²b²-a²c²-b²c²）=0，
得到（a²-b²）²+（b²-c²）²+（c²-a²）²=0，
所以a²-b²=0且b²-c²=0且c²-a²=0，即有a=b=c．
所以△ABC是等边三角形．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，没有实数根．也考查了因式分解的能力和几个非负数的和为0的性质．