Question

关于x的方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实根，且a，b，c的平均值为b=2，则c的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：计算题

分析：由方程有两个不相等的实根得，a≠0，△=b²-4ac＞0；由a，b，c的平均值为b=2，得a=4-c，且4-c≠0；所以c²-4c+1＞0，解不等式求出c的范围；最后综合出c的取值范围．

解答：解：∵关于x的方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实根，
∴a≠0，△=b²-4ac＞0；
由∵a，b，c的平均值为b=2，
∴a+c=4，即a=4-c，且4-c≠0，所以c≠4，
∴4-4（4-c）＞0，即c²-4c+1＞0，由c²-4c+1=0得c₁=2-

3

，c₂=2+

3

，
∴c²-4c+1＞0的解集为c＜2-

3

或c＞2+

3

，
所以c的取值范围是c＜2-

3

或c＞2+

3

且c≠4．
故答案为c＜2-

3

或c＞2+

3

且c≠4．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次不等式的解法和平均数的定义．