Question

如图，四边形ABCD，∠ABC与∠DCE的平分线交于P．
（1）若∠A+∠D=260°，求∠P的度数；
（2）探寻∠P与∠A+∠D之间的数量关系．

Answer 1

考点：多边形内角与外角

专题：

分析：（1）利用四边形内角和是360°可以求得∠DCB+∠ABC=100°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠PBC+∠BCP=

1

2

∠ABC+

1

2

（180°-∠DCB）=90°+

1

2

（∠ABC+∠DCB）=140°，所以根据△BCP的内角和定理求得∠P的度数即可．
（2）解题思路同（1）．

解答： 解：（1）如图，∵∠A+∠D=260°，∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，
∴∠ABC+∠DCB=100°．
又∵∠ABC与∠DCE的平分线交于P，
∴∠PBC+∠BCP=

1

2

∠ABC+

1

2

（180°-∠DCB）=90°+

1

2

（∠ABC+∠DCB）=140°，
∴∠P=180°-（∠PBC+∠BCP）=40°．

（2）∵∠A+∠D=260°，∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，
∴∠ABC+∠DCB=360°-（A+∠D）．
又∵∠ABC与∠DCE的平分线交于P，
∴∠PBC+∠BCP=

1

2

∠ABC+

1

2

（180°-∠DCB）=90°+

1

2

（∠ABC+∠DCB）=90°+180°-

1

2

（A+∠D）=270°-

1

2

（A+∠D）．
∴∠P=180°-（∠PBC+∠BCP）=180°-270°+

1

2

（A+∠D）=

1

2

（A+∠D）-90°．即∠P=

1

2

（A+∠D）-90°．

点评：本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是360°”是解题的关键．