Question

11．在坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=-$\frac{1}{12}$x²+k的顶点M，直线y=-$\frac{1}{2}$x+b（b＞0）分别与x轴，y轴交于点A和点B．点是AB的中点
（1）若点P（$\sqrt{3}$k，1）在抛物线上，求k的值；
（2）若抛物线y=-$\frac{1}{12}$x²+k经过点A和点B，求点C的坐标；
（3）把已知抛物线向右平移2个单位得到的新抛物线与直线y=-$\frac{1}{2}$x+b交于第一象限的P，Q两点，若新抛物线顶点恰好为点P，△OCQ的面积记为S，求S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点P的坐标代入抛物线解析式，列出关于k的方程-$\frac{1}{12}$（$\sqrt{3}$k）²+k=1，通过解方程求得k的值；
（2）利用直线解析式求得A（0，b），B（2b，0），所以根据中点坐标的求法不难得到C（b，$\frac{1}{2}$b），利用抛物线顶点坐标和二次函数图象上点的坐标特征得到抛物线y=-$\frac{1}{12}$x²+b经过点B，将点B的坐标代入二次函数解析式即可；
（3）平移后抛物线的顶点坐标为（2，k），将P（2，k）代入y=-$\frac{1}{2}$x+b上得：k=b-1，则新抛物线为y=-$\frac{1}{12}$（x-2）²+b-1，将y=-$\frac{1}{2}$x+b与y=-$\frac{1}{12}$（x-2）²+b-1联立可解得x的值，从而得到点Q的横坐标，然后依据S_△OQC=S_△BOQ-S_△BOC得到S与b的函数关系式，最后利用S与b的函数关系式可确定出S的取值范围．

解答 解：（1）∵P（$\sqrt{3}$k，1）在抛物线y=-$\frac{1}{12}$x²+k上，
∴-$\frac{1}{12}$（$\sqrt{3}$k）²+k=1，
解得：k=2；
（2）由题意知A（0，b），B（2b，0），
∵C是AB的中点，
∴C（b，$\frac{1}{2}$b），
∵抛物线y=-$\frac{1}{12}$x²+k关于y轴对称，顶点坐标为（0，k），且经过点A，
∴抛物线y=-$\frac{1}{12}$x²+b经过点B，
∴0=-$\frac{1}{12}$（2b）²+b，
解得：b=3，
∴点C的坐标为（3，$\frac{3}{2}$）；
（3）抛物线y=-$\frac{1}{12}$x²+k向右平移2个单位得到的新抛物线为y=-$\frac{1}{12}$（x-2）²+k，
∴抛物线的顶点坐标为（2，k）．
∵顶点P（2，k）在直线y=-$\frac{1}{2}$x+b上，
∴k=-$\frac{1}{2}$×2+b，
∴k=b-1．
∴新抛物线为y=-$\frac{1}{12}$（x-2）²+b-1．
将y=-$\frac{1}{2}$x+b代入y=-$\frac{1}{12}$（x-2）²+b-1得：-$\frac{1}{2}$x+b=-$\frac{1}{12}$（x-2）²+b-1，
整理得：x²-10x+16=0，解得：x=2或x=8，
∴点Q的纵坐标为8．

∵S_△OQC=S_△BOQ-S_△BOC，
∴S=$\frac{1}{2}$×BO×Q_x-$\frac{1}{2}$×OB×C_x=$\frac{1}{2}$×b×8-$\frac{1}{2}$×b×b=-$\frac{1}{2}$b²+4b=-$\frac{1}{2}$（b-4）²+8．
∴S的取值范围是：0＜S≤8．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了点的坐标与函数关系式的关系、二次函数的平移规律、二次函数的性质，列出S与b的函数关系式是解题的关键．