Question

19．设△ABC的面积为1．
如图1，分别将AC，BC边2等分，D₁，E₁是其分点，连接AE₁，BD₁交于点F₁，得到四边形CD₁F₁E₁，其面积S₁=$\frac{1}{3}$．
如图2，分别将AC，BC边3等分，D₁，D₂，E₁，E₂是其分点，连接AE₂，BD₂交于点F₂，得到四边形CD₂F₂E₂，其面积S₂=$\frac{1}{6}$；
如图3，分别将AC，BC边4等分，D₁，D₂，D₃，E₁，E₂，E₃是其分点，连接AE₃，BD₃交于点F₃，得到四边形CD₃F₃E₃，其面积S₃=$\frac{1}{10}$；
…
按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CD_nF_nE_n，其面积S_n=$\frac{2}{（n+1）（n+2）}$．

Answer 1

分析 先连接D₁E₁，D₂E₂，D₃E₃，依据D₁E₁∥AB，D₁E₁=$\frac{1}{2}$AB，可得△CD₁E₁∽△CBA，且$\frac{{D}_{1}{E}_{1}}{B{F}_{1}}$=$\frac{{D}_{1}{E}_{1}}{AB}$=$\frac{1}{2}$，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可得到S_△CD1E1=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$，依据E₁是BC的中点，即可得出S_△D1E1F1=$\frac{1}{3}$S_△BD1E1=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{12}$，据此可得S₁=$\frac{1}{3}$；运用相同的方法，依次可得S₂=$\frac{1}{6}$，S₂=$\frac{1}{6}$；根据所得规律，即可得出四边形CD_nE_nF_n，其面积S_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$×n×$\frac{1}{1+n+1}$，最后化简即可．

解答 解：如图所示，连接D₁E₁，D₂E₂，D₃E₃，
∵图1中，D₁，E₁是△ABC两边的中点，
∴D₁E₁∥AB，D₁E₁=$\frac{1}{2}$AB，
∴△CD₁E₁∽△CBA，且$\frac{{D}_{1}{E}_{1}}{B{F}_{1}}$=$\frac{{D}_{1}{E}_{1}}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△CD1E1=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$，
∵E₁是BC的中点，
∴S_△BD1E1=S_△CD1E1=$\frac{1}{4}$，
∴S_△D1E1F1=$\frac{1}{3}$S_△BD1E1=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{12}$，
∴S₁=S_△CD1E1+S_△D1E1F1=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{3}$，
同理可得：
图2中，S₂=S_△CD2E2+S_△D2E2F2=$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{18}$=$\frac{1}{6}$，
图3中，S₃=S_△CD3E3+S_△D3E3F3=$\frac{1}{16}$+$\frac{3}{80}$=$\frac{1}{10}$，
以此类推，将AC，BC边（n+1）等分，得到四边形CD_nE_nF_n，
其面积S_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$×n×$\frac{1}{1+n+1}$=$\frac{2}{（n+1）（n+2）}$，
故答案为：$\frac{2}{（n+1）（n+2）}$．

点评 本题主要考查了图形的变化类问题以及三角形面积的计算，解决问题的关键作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的性质进行计算求解．解题时注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．