题目内容
18．任何一个整数N，可以用一个的多项式来表示：N=$\overline{{a}_{n}{a}_{n-1}…{a}_{1}{a}_{0}}$=an×10n+an-1×10n-1+…+a1×10+a0．
例如：325=3×102+2×10+5．已知$\overline{abc}$是一个三位数．
（1）小明猜想：“$\overline{abc}$与$\overline{cba}$的差一定是9的倍数．”请你帮助小明说明理由．
（2）在一次游戏中，小明算出$\overline{acb}$、$\overline{bac}$、$\overline{cab}$、$\overline{bca}$与$\overline{cba}$等5个数和是3470，请你求出$\overline{abc}$这个三位数．
分析 （1）直接作差即可得出结论；
（2）先根据题意得出a+b+c的取值范围，再代入数据进行验证即可．
解答 解：（1）∵$\overline{abc}$-$\overline{cab}$=100a+10b+c-（100c+10b+a）
=99（a-c）=9×11（a-c），
∴$\overline{abc}$与$\overline{cba}$的差一定是9的倍数；
（2）∵$\overline{abc}$+$\overline{acb}$+$\overline{bac}$+$\overline{cab}$+$\overline{bca}$+$\overline{cba}$=3470+$\overline{abc}$
∴222（a+b+c）=222×15+140+$\overline{abc}$
∵100＜$\overline{abc}$＜1000，
∴3570＜222（a+b+c）＜4470，
∴16＜a+b+c≤20．
尝试发现只有a+b+c=19，此时$\overline{abc}$=748成立，$\overline{abc}$这个三位数为748．
点评 本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
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