Question

13．【探究】
已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，四边形CDEF为正方形，BD、AF交于点G．
（1）若△ABC与正方形CDEF的位置如图1所示，试猜想BD、AF的位置关系，请直接写出结论：BD⊥AF；
（2）若将正方形CDEF绕点C顺时针旋转到图2所示的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由．
【拓展】
如图3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=5，四边形CDEF为矩形，CD=1，CF=$\sqrt{3}$，若将矩形CDEF绕点C顺时针旋转到图4所示的位置，连接BD，AF交于点G，若∠DBC=15°，求AG的值．

Answer 1

分析 （1）由△BCD≌△ACF，推出∠DBC=∠CAF，由∠BDC+∠DBC=90°，∠BDC=∠ADG，推出∠DAG+∠ADG=90°，推出∠AGD=90°；
（2）结论仍然成立．由△BCD≌△ACF，推出∠DBC=∠CAF，由∠BOC+∠DBC=90°，∠BOC=∠AOG，推出∠OAG+∠AOG=90°，即可证明；
（3）由△BCD∽△ACF，推出∠DBC=∠CAF，由∠BOC+∠DBC=90°，∠BOC=∠AOG，推出∠OAG+∠AOG=90°，推出∠AGO=90°，BD⊥AF，由∠ABC=60°，∠GBC=15°，推出∠ABD=45°，推出△ABG是等腰直角三角形，即可解决问题；

解答 解：（1）结论：BD⊥AF．

理由：在△BCD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BA}\\{∠BCD=∠ACF}\\{CD=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACF，
∴∠DBC=∠CAF，
∵∠BDC+∠DBC=90°，∠BDC=∠ADG，
∴∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠AGD=90°，
∴BD⊥AF．
故答案为BD⊥AF．

（2）结论仍然成立．
理由：如图2中，设AC与BD交于点O．

∵∠BCA=∠DCF=90°，
∴∠BCD=∠ACF，
在△BCD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BA}\\{∠BCD=∠ACF}\\{CD=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACF，
∴∠DBC=∠CAF，
∵∠BOC+∠DBC=90°，∠BOC=∠AOG，
∴∠OAG+∠AOG=90°，
∴∠AGO=90°，
∴BD⊥AF．

（3）如图4中，设AC与BD交于点O．

∵∠BCA=∠DCF=90°，
∴∠BCD=∠ACF，
∵$\frac{BC}{AC}$=$\frac{DC}{CF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴△BCD∽△ACF，
∴∴∠DBC=∠CAF，
∵∠BOC+∠DBC=90°，∠BOC=∠AOG，
∴∠OAG+∠AOG=90°，
∴∠AGO=90°，
∴BD⊥AF，
∵∠ABC=60°，∠GBC=15°，
∴∠ABD=45°，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∴AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．