Question

12．在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，连接BF，DE交于点G．若BG=3，DG=4，则四边形ABGD的面积为$\frac{49}{4}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先利用菱形的性质得出AB=AD，又由AB=BD得出△ABD是等边三角形，进一步证明△CDE≌△DBF，得出∠BGE=∠DGF=60°，证得四边形ABGD是圆内接四边形，过点A再分别作AM⊥DE，AN⊥BF，证明△ABN≌△ADM，把四边形ABGD的面积转化为四边形AMGN的面积即可．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
又∵AB=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=∠ABD=60°
∴∠DBC=∠BDF=∠C=60°
∵BE=CF，
∴CE=DF，
在△CDE和△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=DB}\\{∠C=∠BDF}\\{CE=DF}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△DBF（SAS），
∴∠CDE=∠DBF，
∴∠GBE=∠BDE，
∴∠DBF+∠GBE=∠DBF+∠BDE=∠BGE=∠DGF=60°=∠BAD，
∴四边形ABGD是圆内接四边形，
∵AD=AB，
∴∠AGB=∠AGD=60°，
如图，过点A分别作AM⊥DE，AN⊥BF，垂足分别为M、N，
∵AG是角平分线，
∴AN=AM，
在Rt△ABN和Rt△ADM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AM}\\{AB=AD}\end{array}\right.$
∴Rt△ABN≌Rt△ADM（HL），
∴BN=DM，
∴GN+GM=BG+DG=3+4=7，
在Rt△AGN和Rt△AGM中
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AM}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴Rt△AGN≌Rt△AGM（HL），
∴NG=MG=$\frac{1}{2}$（BG+DG）=$\frac{7}{2}$，
∴AN=NG•tan∠AGN=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$，
∵S_{四边形ABGD}=S_{四边形ANGM}．
∴S_{四边形ABGD}=2S_△AGN=2×$\frac{1}{2}$×NG×AN=$\frac{7}{2}$×$\frac{7\sqrt{3}}{2}$=$\frac{49\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{49\sqrt{3}}{4}$．

点评 此题考查菱形的性质，等边三角形的判定，三角形全等的判定与性质，圆内接四边形的判定与性质等知识点，发现四边形ABGD是圆内接四边形是解决问题的关键．