Question

2．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0；②b+2a=0；③8a+c＞0；④a+3b+c＞0．
其中，正确结论的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；再根据对称轴在y轴的右边，判断出b＜0；然后根据二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与y轴的交点在y轴的负半轴，可得c＜0，所以abc＞0，据此判断即可．
②根据抛物线的对称轴x=-$\frac{b}{2a}=1$，可得b+2a=0，据此判断即可．
③首先根据抛物线的对称轴是x=1，抛物线与x轴的一个交点-2＜x₁＜-1，可得抛物线与x轴的另一个交点3＜x₂＜4；然后根据x=4时，y＞0，判断出8a+c＞0即可．
④根据b+2a=0，可得b=-2a，所以a+3b+c=a+3×（-2a）+c=-5a+c＜0，据此判断即可．

解答 解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴的右边，
∴b＜0；
∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∴结论①正确；
∵抛物线的对称轴x=-$\frac{b}{2a}=1$，
∴b+2a=0，
∴结论②正确；
∵抛物线的对称轴是x=1，抛物线与x轴的一个交点-2＜x₁＜-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点3＜x₂＜4；
∴x=4时，y＞0，
∴16a+4b+c＞0，
∵b+2a=0，
∴b=-2a，
∴8a+c＞0，
∴结论③正确；
∵b+2a=0，
∴b=-2a，
∴a+3b+c=a+3×（-2a）+c=-5a+c＜0，
∴结论④不正确．
综上，可得正确结论的个数是3个：①②③．
故选：C．

点评 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．