Question

（1）如图①，点D、A、B正在一条直线上，∠D=∠B=90°，EA⊥AC，EA=AC．求证：AD=BC；
（2）如图②，在△ABC中，AG⊥AC于点G，以点A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰直角三角形BAE和等腰直角三角形CAF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为点P、Q，EP与FQ之间有怎样的数量关系？证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）求出∠EAC=∠D=∠B=90°，∠E=∠CAB，根据全等三角形的判定定理AAS推出即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出∠FAC=∠EAB=90°，AC=AF，AE=AB，求出∠FQA=∠AGC=90°，∠QFA=∠GAC，根据AAS推出△AQF≌△CGA，推出FQ=AG，同理EP=AG，即可得出答案．

解答：（1）证明：∵∠D=∠B=90°，EA⊥AC，
∴∠EAC=∠D=∠B=90°，
∴∠E+∠EAD=90°，∠EAD+∠CAB=90°，
∴∠E=∠CAB，
在△EDA和△ABC中，

∠E=∠CAB ∠D=∠B AE=AC

，
∴△EDA≌△ABC（AAS），
∴AD=BC；

（2）EP=FQ，
证明：∵△BAE和△CAF是等腰直角三角形，
∴∠FAC=∠EAB=90°，AC=AF，AE=AB，
∵AG⊥BC，FQ⊥AG，
∴∠FQA=∠AGC=90°，
∴∠AFQ+∠QAF=90°，∠QAF+∠GAC=90°，
∴∠QFA=∠GAC，
在△AQF和△CGA中，

∠FQA=∠AGC=90° ∠AFQ=∠GAC AF=AC

，
∴△AQF≌△CGA（AAS），
∴FQ=AG，
同理EP=AG，
∴FQ=EP．

点评：本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理，垂直定义的应用，解此题的关键是推出两三角形全等，题目比较典型，证明过程类似．