Question

5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，连接AE、CE．若AB=2，∠ABC=60°，求AE的长．

Answer 1

分析 先根据菱形的性质得OB=OD，OA=OC，AB=CB，AC⊥BD，再利用∠ABC=60°可判断△ABC为等边三角形，所以AC=AB=2，则根据等边三角形的性质得OA=$\frac{1}{2}$AC=1，OD=OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=$\sqrt{3}$，接着判定四边形OCED为矩形，
得到∠OCE=90°，CE=OD=$\sqrt{3}$，然后利用勾股定理计算AE．

解答 解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB=OD，OA=OC，AB=CB，AC⊥BD，BD平分∠ABC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=2，
在Rt△AOB中，OA=$\frac{1}{2}$AC=1，
OD=OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∵DE=$\frac{1}{2}$AC，
∴DE=OC，
而DE∥AC，
∴四边形OCED为平行四边形，
而OC⊥OD，
∴四边形OCED为矩形，
∴∠OCE=90°，CE=OD=$\sqrt{3}$，
在Rt△ACE中，AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了等边三角形的判定与性质．