Question

17．如图，点A是函数$y=\frac{a}{x}（a＞0）$的图象在第一象限内分支上一点，过O点作OB⊥OA，交函数$y=-\frac{a}{x}（a＞0）$的图象在第二象限内分支于点B．点C为x轴正半轴上一点．
（1）当a=$\sqrt{3}$，∠AOC=60°时，求：
①点A的坐标；
②△AOB的面积S_△AOB；
（2）当a=1，tan∠AOC=k（k＞0）时，求∠ABO的大小．

Answer 1

分析 （1）①过点A作AF⊥x轴于点F，根据a=$\sqrt{3}$，∠AOC=60°，求出A的横坐标和纵坐标，即可得到A点坐标；
②过点B作BE⊥x轴于点E，根据a=$\sqrt{3}$，∠AOC=60°，OB⊥OA，求出OB、OA的长，从而求出△AOB的面积；
（2）分别过点A、B作AF⊥x轴、BE⊥x轴，判断出△BOE∽△OAF，从而得到$\frac{BE}{OF}$=$\frac{OE}{AF}$；设B（-m，$\frac{1}{m}$），A（n，$\frac{1}{n}$），求出mn=$\frac{1}{mn}$，mn=1，从而得到tan∠OBA=$\frac{OA}{OB}$；根据△BOE∽△OAF，得到$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OF}{BE}$=$\frac{1}{mn}$=1，从而有tan∠OBA=1，即可得到∠ABO=45°的值．

解答 解：（1）①如图，过点A作AF⊥x轴于点F，
∵a=$\sqrt{3}$，∠AOC=60°，
∴设FO=x，则AF=$\sqrt{3}$x，
故x•$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$，
解得：x=1（负数舍去），
则FO=1，AF=$\sqrt{3}$，
∴AO=2，
∴点A的坐标为：（1，$\sqrt{3}$）．

②如图，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵a=$\sqrt{3}$，∠AOC=60°，OB⊥OA，
∴∠BOE=30°，
∴设BE=x，则EO=$\sqrt{3}$x，
∴x•$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$，
解得：x=1，
∴BE=1，BO=$\sqrt{3}$，
∴BO=2，
又∵AO=2，
∴△AOB的面积S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×2=2；

（2）如图，分别过点A、B作AF⊥x轴、BE⊥x轴；
∵∠AOB=90°，
∴∠BOE+∠AOF=∠AOF+∠OAN=90°，
∴∠BOE=∠OAF，
∵∠BEO=∠AFO=90°，
∴△BOE∽△OAF，
∴$\frac{BE}{OF}$=$\frac{OE}{AF}$；
设B（-m，$\frac{1}{m}$），A（n，$\frac{1}{n}$），
则BE=$\frac{1}{m}$，AF=$\frac{1}{n}$，OE=m，OF=n，
∴mn=$\frac{1}{mn}$，mn=1；
∵∠AOB=90°，
∴tan∠OBA=$\frac{OA}{OB}$①；
∵△BOE∽△OAF，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OF}{BE}$=$\frac{1}{mn}$=1②，
由①②知，tan∠OBA=1，
∴∠ABO=45°．

点评 本题考查了反比例函数综合题，涉及特殊角的三角函数值、点的坐标、相似三角心扉的判定与性质，综合性强，要认真解答．