Question

14．已知正实数a，b满足：a+b=1，且$\frac{1-\sqrt{b}+\sqrt{a}}{1-\sqrt{b}-\sqrt{a}}$+$\frac{1-\sqrt{b}-\sqrt{a}}{1-\sqrt{b}+\sqrt{a}}$=-4，求$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$的值．

Answer 1

分析 将原式通分整理得$\frac{2（1-2\sqrt{b}+a+b）}{1-2\sqrt{b}+b-a}$=-4，将a+b=1、a=1-b代入整理得$\frac{1}{\sqrt{b}}$=2，即$\sqrt{b}$=$\frac{1}{2}$，根据a+b=1得出$\sqrt{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可得答案．

解答 解：∵$\frac{1-\sqrt{b}+\sqrt{a}}{1-\sqrt{b}-\sqrt{a}}$+$\frac{1-\sqrt{b}-\sqrt{a}}{1-\sqrt{b}+\sqrt{a}}$=-4，
∴$\frac{（1-\sqrt{b}+\sqrt{a}）^{2}+（1-\sqrt{b}-\sqrt{a}）^{2}}{（1-\sqrt{b}）^{2}-（\sqrt{a}）^{2}}$=-4，
$\frac{1-2\sqrt{b}+b+2\sqrt{a}（1-\sqrt{b}）+a+1-2\sqrt{b}+b-2\sqrt{a}（1-\sqrt{b}）+a}{1-2\sqrt{b}+b-a}$=-4，
即$\frac{2（1-2\sqrt{b}+a+b）}{1-2\sqrt{b}+b-a}$=-4，
∵a+b=1，
∴a=1-b，
则$\frac{2（1-2\sqrt{b}+1）}{1-2\sqrt{b}+2b-1}$=-4，
整理得：$\frac{1}{\sqrt{b}}$=2，即$\sqrt{b}$=$\frac{1}{2}$，
∴b=$\frac{1}{4}$，
则a=1-b=$\frac{3}{4}$，
∴$\sqrt{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的混合运算顺序和法则及整体代入思想是解题的关键．