Question

5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．
①用含x的代数式表示∠EOF；
②求∠AOC的度数．

Answer 1

分析 （1）由对顶角的性质可知∠BOD=70°，从而可求得∠FOB=20°，由角平分线的定义可知∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOD，最后根据∠EOF=∠BOE+∠FOB求解即可；
（2）①先证明∠AOE=∠COE=x，然后由角平分线的定义可知∠FOE=$\frac{1}{2}$；
②∠BOE=∠FOE-∠FOB可知∠BOE=$\frac{1}{2}$x-15°，最后根据∠BOE+∠AOE=180°列出方程可求得x的值，从而可求得∠AOC的度数．

解答 解：（1）由对顶角相等可知：∠BOD=∠AOC=70°，
∵∠FOB=∠DOF-∠BOD，∴∠FOB=90°-70°=20°，
∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$×70°=35°，
∴∠EOF=∠FOB+∠BOE=35°+20°=55°；

（2）①∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE，
∵∠BOE+∠AOE=180°，∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=∠AOE=x，
∵OF平分∠COE，∴∠FOE=$\frac{1}{2}$x；
②∵∠BOE=∠FOE-∠FOB，∴∠BOE=$\frac{1}{2}$x-15°，
∵∠BOE+∠AOE=180°，∴$\frac{1}{2}$x-15°+x=180°，解得：x=130°，
∴∠AOC=2∠BOE=2×（180°-130°）=100°．

点评 本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力．