Question

15．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=4，AC=3，BC=5，以BC所在的直线为y轴，以点C为原点建立平面直角坐标系．x轴交AD于点E，有一动点P以5个单位/秒的速度熊A点出发，到达B点，再到C点停止，另一动点F以3个单位/秒的速度从C点出发向x轴的正方向运动，和点P同时开始，同时停止运动，令运动的时间为t．
（1）求点A，E的坐标．
（2）当P点在AB上运动时，设直线PF的函数解析式为y=kx+b，在运动的过程中，k的大小是否与t有关？若无关，请求出k的值；若有关，请写出k与t的函数关系式，并说明理由．
（3）在整个运动的过程中，求PF的中点的运动轨迹长．

Answer 1

分析 （1）首先根据勾股定理，判断出△ABC是以BC边为斜边的直角三角形，进而求出斜边上的高是多少，即可判断出点A的横坐标和点E的坐标；然后根据AC²=CG•CB，求出CG的长度，即可判断出点A的纵坐标，进而求出点A的坐标即可．
（2）根据动点P的速度是5个单位/秒，可以把它分成以3个单位/秒的速度向x轴的正方向运动，和以4个单位/秒的速度向y轴的正方向运动，所以在运动的过程中，k的大小与t无关，k的值一定：k=-$\frac{4}{3}$，据此解答即可．
（3）根据题意，求出x的求值范围，即可判断出PF的中点的运动轨迹长．

解答 解：（1）如图1，作AG⊥BC交BC与点G，，
∵4²+3²=16+9=25=5²，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是以BC边为斜边的直角三角形；
∴AG=4×3÷5=2.4，
CG=AC²÷BC=3²÷2.4=3.75，
∴点A的坐标为（-2.4，3.75），点E的坐标为（-2.4，0）．

（2）如图2，，
∵5²=3²+4²，
∴动点P的速度是5个单位/秒，可以把它分成以3个单位/秒的速度向x轴的正方向运动，和以4个单位/秒的速度向y轴的正方向运动，
所以在运动的过程中，k的大小与t无关，
k的值一定：k=-$\frac{4}{3}$．

（3）因为（4+5）÷5=9÷5=1.8，
所以在整个运动的过程中，求PF的中点的运动轨迹长是：
|1.8×（-$\frac{4}{3}$）|
=|-2.4|
=2.4．
答：在整个运动的过程中，求PF的中点的运动轨迹长是2.4．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；
（2）此题还考查了勾股定理的应用，以及直角三角形的性质，还有点的运动轨迹的判断，要熟练掌握．