题目内容

4．已知：直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与x轴y轴分别交于点A、点B，抛物线y=-$\frac{3}{8}$x2+bx+c经过点A和点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C（0，2），点P（m，0）是线段OA上的一点（不与O、A重合），过点P作PM垂直x轴，交抛物线于点M，连接BM、AC、AM，设四边形ACBM的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点D是线段OP的中点，连接BD，当S取最大值时，试求直线BD与AC所成的锐角度数．

分析 （1）根据一次函数解析式求出A、B坐标，代入二次函数解析式即可求出二次函数解析式；
（2）根据题意作出辅助线，根据S=S梯形OPMB-+S△APM-S△OAC可得函数解析式；
（3））由（2）中函数关系式得出m及S的值，根据点D是线段OP的中点得出D点坐标，利用待定系数法求出直线AC、BD的解析式，故可得出G点坐标，利用两点间的距离公式求出DG的长，过点D作DF⊥AC于点F，求出直线DF的解析式，故可得出F点的坐标，求出DF的长，利用锐角三角函数的定义即可得出结论．

解答 解：（1）在y=-$\frac{3}{4}$x+3中，
当y=0时，x=4，所以A（4，0），
当x=0时，y=3，所以B（0，3），
∵抛物线y=-$\frac{3}{8}$x2+bx+c经过A、B，
∴$\left\{\begin{array}{l}-6+4b+c=0\\ c=3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=\frac{3}{4}\\ c=3\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{3}{8}$x2+$\frac{3}{4}$x+3；

（2）如图1所示，
∵P（m，0），
∴OP=m，PM=-$\frac{3}{8}$m2+$\frac{3}{4}$m+3
∴S=S梯形OPMB+S△APM-S△OAC
=$\frac{1}{2}$（PM+OB）•OP+$\frac{1}{2}$AP•PM-$\frac{1}{2}$OA•OC
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{3}{8}$m2+$\frac{3}{4}$m+3+3）•m+$\frac{1}{2}$（4-m）（-$\frac{3}{8}$m2+$\frac{3}{4}$m+3）-$\frac{1}{2}$×4×2
=-$\frac{3}{4}$m2+3m+2（0＜m＜4）；

（3）∵由（2）知S=-$\frac{3}{4}$m2+3m+2，
∴当m=2时，S最大=5，
∴P（2，0）．
∵点D是线段OP的中点，
∴D（1，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（4，0），C（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}0=4k+b\\ b=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2}\\ b=2\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2．
设直线BD的解析式为y=ax+c（a≠0），
∵B（0，3），D（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}c=3\\ a+c=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ c=3\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=-3x+3，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x+2\\ y=-3x+3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{5}\\ y=\frac{9}{5}\end{array}\right.$，
∴G（$\frac{2}{5}$，$\frac{9}{5}$），
∴DG=$\sqrt{（1-\frac{2}{5}）^{2}+（\frac{9}{5}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{81}{25}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．
过点D作DF⊥AC于点F，
∵直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴设直线DF的解析式为y=2x+d，
∵D（1，0），
∴2+d=0，解得d=-2，
∴设直线DF的解析式为y=2x-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x+2\\ y=2x-2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{8}{5}\\ y=\frac{6}{5}\end{array}\right.$，
∴F（$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），
∴DF=$\sqrt{（1-\frac{8}{5}）^{2}+（\frac{6}{5}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠DGF=$\frac{DF}{DG}$=$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{5}}{\frac{3\sqrt{10}}{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠DGF=45°，即直线BD与AC所成的锐角是45°．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、三角形面积公式、函数图象上点的坐标特征等知识，综合性强，值得关注．

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