Question

8．如图，已知平面直角坐标系内，A（-1，0），B（3，0），点D是线段AB上任意一点（点D不与A，B重合），过点D作AB的垂线l．点C是l上一点，且∠ACB是锐角，连结AC、BC，作AE⊥BC于点E，交CD于点H，连结BH，设△ABC面积为S₁，△ABH面积为S₂，则S₁•S₂的最大值是16．

Answer 1

分析 设AD=x，BD=4-x，想办法构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．

解答 解：设AD=x，BD=4-x，
∵∠HAD=∠EAB，∠ADH=∠AEB=90°，
∴△ADH∽△AEB，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{EB}{DH}$，
∴AE•DH=AD•EB，
∵∠ABE=∠DBC，∠CDB=∠AEB=90°，
∴△AEB∽△CDB，
∴$\frac{EB}{DB}$=$\frac{AB}{CB}$，
∴EB•BC=AB•DB，
∵S₁•S₂=$\frac{1}{2}$•AE•BC•$\frac{1}{2}$•DH•AB
=（AE•DH）•BC
=（AD•EB）•BC
=AD•（EB•BC）
=AD•（AB•BD）
=4x（4-x）
=-4（x-2）²+16，
∵a=-4＜0，
∴x=2时，S₁•S₂有最大值，最大值为16，
故答案为16．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、坐标与图形、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活应用相似三角形的性质解决问题，学会根据二次函数解决值问题，属于中考常考题型．