Question

20．如图，将Rt△ABC的直角顶点C放在坐标原点，另两个直角边分别与两坐标轴的正半轴重合，已知AC=2，AB=4，将Rt△ABC按如图所示的方式依次绕顶点旋转，经过三次旋转分别经历图①②③种情形，把这三次的旋转叫做一次变换．
（1）线段AB在从原图到图①的过程中扫过的图形的面积是$\frac{16}{3}$π，在一次变换过程中顶点B经过的路程是$\frac{8+3\sqrt{3}}{3}$π．
（2）经过n次变换后，点B移动到B_3n的位置，求点B_3n的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据扇形面积计算公式以及弧长计算公式进行计算即可；
（2）先判断经过一次变换点B向右平移的距离，再求得经过n次变换后，B_3n的坐标．

解答 解：（1）线段AB在从原图到图①的过程中扫过的图形是一个半径为4，圆心角为120°的扇形，
∴其面积为$\frac{120}{360}$×π×16=$\frac{16}{3}$π，
在一次变换过程中顶点B经过两段弧，第一段是圆心角为120°，半径为4的圆弧，第二段是圆心角为90°，半径为2$\sqrt{3}$的圆弧，
∴点B经过的路程是$\frac{120π×4}{180}$+$\frac{90π×2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{8+3\sqrt{3}}{3}$π．
故答案为：$\frac{16}{3}$π，$\frac{8+3\sqrt{3}}{3}$π；

（2）∵经过一次变换点B向右平移（2+4+$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$）个单位长度，即（6+2$\sqrt{3}$）个单位长度，
∴经过n次变换后，B_3n（6n+2$\sqrt{3}$n，2$\sqrt{3}$）．

点评 本题以旋转变换为背景，主要考查了勾股定理、扇形面积计算以及弧长计算等，解题时注意：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形；在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．