Question

5．在正方形ABCD中，已知$\frac{AF}{AB}=\frac{1}{3}$，$\frac{CG}{CB}=\frac{1}{4}$
求（1）EF：FG：GH，（2）AE：CH．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得AD∥BC，CD∥AB，再根据平行线分线段成比例定理，由AE∥BG得到$\frac{EF}{FG}$=$\frac{AF}{BF}$，而$\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，则$\frac{EF}{FG}$=$\frac{1}{2}$，同理可得$\frac{FG}{GH}$=3，然后利用比例性质得到EF：FG：GH=3：6：2；
（2）根据平行线分线段成比例定理和（1）中的结论，由AF∥DH得到$\frac{AE}{AD}$=$\frac{EF}{FH}$=$\frac{3}{8}$，即AE=$\frac{3}{8}$AD，同理可得$\frac{CH}{CD}$=$\frac{GH}{EG}$=$\frac{2}{9}$，即CH=$\frac{2}{9}$CD，根据正方形的性质得AD=CD，所以AE：CH=27：16．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∵AE∥BG，
∴$\frac{EF}{FG}$=$\frac{AF}{BF}$，
而$\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AF}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EF}{FG}$=$\frac{1}{2}$，
∵CH∥BF，
∴$\frac{FG}{GH}$=$\frac{BG}{CG}$，
而$\frac{CG}{BG}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{BG}{CG}$=3，
∴$\frac{FG}{GH}$=3，
即$\frac{EF}{FG}$=$\frac{3}{6}$，$\frac{FG}{GH}$=$\frac{6}{2}$，
∴EF：FG：GH=3：6：2；
（2）∵AF∥DH，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{EF}{FH}$=$\frac{3}{8}$，即AE=$\frac{3}{8}$AD，
∵CG∥DE，
∴$\frac{CH}{CD}$=$\frac{GH}{EG}$=$\frac{2}{9}$，即CH=$\frac{2}{9}$CD，
而AD=CD，
∴AE：CH=27：16．

点评 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了正方形的性质和比例的性质．