Question

9．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，BE⊥AC，垂足为E，∠ABE的平分线交AD于F．判断△DBF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，由BE⊥AC，于是得到∠C+∠CAD=∠C+∠CBE=90°，推出∠CBE=∠CAD=$\frac{1}{2}∠$BAC，由于BF平分∠ABE，于是得到∠FBE=$\frac{1}{2}$∠ABE=$\frac{1}{2}$（90°-∠BAC），求出∠DBF=∠DBE+∠FBE=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$（90°-∠BAC）=45°，于是得到结论．

解答 解：△DBF是等腰直角三角形，
理由：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠ADB=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠C+∠CAD=∠C+∠CBE=90°，
∴∠CBE=∠CAD=$\frac{1}{2}∠$BAC，
∵BF平分∠ABE，
∴∠FBE=$\frac{1}{2}$∠ABE=$\frac{1}{2}$（90°-∠BAC），
∴∠DBF=∠DBE+∠FBE=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$（90°-∠BAC）=45°，
∴△DBF是等腰直角三角形．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．