Question

4．如图，已知点A在x轴上，?OABC的顶点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，顶点C在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，?OABC的面积等于4．
（1）求k的值；
（2）当OA=1时，在坐标系内是否存在不同于点C的点D，使得以O、A、B、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设OA=m，B的纵坐标是n，根据平行四边形的面积公式利用m表示出n，然后利用m表示出B和C的横坐标，根据BC=OA即可求得；
（2）首先根据（1）求得B、C的坐标，然后分成OA是一边和OA是对角线两种情况进行讨论求解．

解答 解：（1）设OA=m，B的纵坐标是n，
∵?OABC的面积等于4．
∴n=$\frac{4}{m}$，
把y=$\frac{4}{m}$代入y=$\frac{k}{x}$，得：x=$\frac{k}{\frac{4}{m}}$=$\frac{km}{4}$，
把y=$\frac{4}{m}$代入y=$\frac{2}{x}$得：x=$\frac{2}{\frac{4}{m}}$=$\frac{1}{2}$m，
根据题意得：$\frac{km}{4}$-$\frac{1}{2}$m=m，
解得：k=6；

（2）当OA=1时，A的坐标是（1，0），
B的纵坐标4，则坐标是（$\frac{3}{2}$，4），C的坐标是（$\frac{1}{2}$，4）．
当四边形OADB是平行四边形时，则D的坐标是（$\frac{5}{2}$，4）；
当OA是对角线时，OA的中点是（$\frac{1}{2}$，0），设D的坐标是（a，b）．
则$\frac{1}{2}$（a+$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$（4+b）=0，
解得：a=-$\frac{1}{2}$，b=-4．
则D的坐标是（-$\frac{1}{2}$，-4）．
∴D的坐标是（$\frac{5}{2}$，4）或（-$\frac{1}{2}$，-4）．

点评 本题是反比例函数与平行四边形的综合题，根据平行四边形的性质，正确求得k的值是解决本题的关键．