Question

17．已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$与一次函数y=x+b的图象相交于点A（x₁，x₂），若x₁、x₂是关于x的方程x²+mx+2=0的不相等的两实数根，则下列四种说法中错误的是（　　）

• A． 必有b≠0
• B． 必有m²-b²=8
• C． 线段OA的长度必定大于2
• D． 除A点外y=$\frac{k}{x}$与y=x+b图象必定还有一个交点，且两交点位于同一象限

Answer 1

分析 根据x₁、x₂是关于x的方程x²+mx+2=0的不相等的两实数根即可判断A；根据一次函数图象上点的坐标特征和根与系数的关系即可求得m²-b²=8，即可判断B；根据勾股定理和m²-b²=8得出OA=$\sqrt{{b}^{2}+4}$，即可判断C；根据根与系数的关系求得k，判定反比例函数的位置，然后根据直线所处的位置即可判断D．

解答 解：A、∴反比例函数y=$\frac{k}{x}$与一次函数y=x+b的图象相交于点A（x₁，x₂），
∴x₂=x₁+b，
∴b=x₂-x₁，
∵x₁、x₂是关于x的方程x²+mx+2=0的不相等的两实数根，
∴b=x₂-x₁≠0，故正确；
B、∵x₂=x₁+b，
∴x₂-x₁=b，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=b²，
∵x₁、x₂是关于x的方程x²+mx+2=0的不相等的两实数根，
∴x₁x₂=2，x₁+x₂=-m，
∴m²-4×2=b²，
∴m²-b²=8，故正确；
C、∵点A（x₁，x₂），
∴OA=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}-4}$，
∵m²-b²=8，
∴m²=$\sqrt{{b}^{2}+4}$，m²-b²=8
∴OA=$\sqrt{{b}^{2}+4}$，
∵b≠0，
∴b²+4＞4，
∴OA=$\sqrt{{b}^{2}+4}$＞2，故正确；
D、∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$与一次函数y=x+b的图象相交于点A（x₁，x₂），
∴x₁x₂=k，
∵x₁、x₂是关于x的方程x²+mx+2=0的不相等的两实数根，
∴x₁x₂=2，
∴k=2，
∴反比例函数在一三象限，
∵一次函数y=x+b的图象一定经过一、三象限，
∴y=$\frac{k}{x}$与y=x+b图象的交点分别在第一、第三象限，故错误；
故选D．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，一次函数的性质以及反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握根与系数的关系和函数的性质是解题的关键．