Question

19．意大利著名数学家婓波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．为了纪念这个著名的发现，人们将这组数命名为婓波那契数列．
（1）这个数列的前2014个数中，有多少个奇数？
（2）现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如下正方形系列：
再分别依次从左到右取2个，3个，4个，5个，…正方形拼成如下长方形并记为①、②、③、④、⑤…
（i）通过计算相应长方形的周长填写表（不计拼出的长方形内部的线段）：

序号	①	②	③	④	…
周长	6	10	16	26	…

（ii）若按此规律继续拼成长方形，求序号为⑩的长方形周长．

Answer 1

分析 （1）分析婓波那契数列，可以发现每三项都是前两个为奇第三个为偶，结合2014是3的多少倍余几，即可得出结论；
（2）根据图形特性，可以找出周长为最大的正方形的周长+小一号的正方形的两条边，代入数据即可得出结论．

解答 解：（1）这组数列为：1，1，2，3，5，8…，以3个一组，结合题意可知，每组第三个数为偶数，其它两个均为奇数，
∵2014÷3=671…1，
∴奇数个数为671×2+1=1342+1=1343个．
（2）观察各组合图形可知，其周长为最大的正方形的周长+小一号的正方形的两条边．
（i）③中最大正方形边长为3，再小一点的正方形边长为2，
周长=3×4+2×2=12+4=16；
④中最大正方形边长为5，再小一点的正方形边长为3，
周长=5×4+3×2=20+6=26．
故答案为：16；26．
（ii）婓波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…
⑩中最大正方形边长为144，再小一点的正方形边长为89，
周长=144×4+89×2=576+178=754．

点评 本题考查了图形的变化，解题的关键是：（1）把数列分成每3个一部分，即可找到2奇1偶的特点；（2）观察图形，利用整体替换，即能找到周长的规律．