Question

2．如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD=CD=$\frac{1}{2}$AB，∠D=90°，点E为直线DC上一点，联结AE，作EF⊥AE交A线CB于F．
（1）若点E为线段DC的中点．如图甲．
①求证；AE=EF；
②延长EF交AB延长线于点G，如图乙，求证：四边形BGCE是平行四边形．
（2）①若点E在线段CD的延长线上，如图丙．问结论AE=EF是否成立？
②若点E在线段DC的延长线上，如图丁，问结论AE=EF是否成立？

Answer 1

分析 （1）①如图甲，连接AC，过C作CH⊥AB于H，于是得到四边形ADCH是正方形，求得CH=AH=CD=$\frac{1}{2}$AB，推出△ACD是等腰直角三角形，得到∠ACD=45°，过点E作EM⊥CD交AC于M，则△CEM是等腰直角三角形，得到∠AME=180°-45°=135°，CE=ME，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②根据全等三角形的性质得到AM=CF，得到△ACB是等腰直角三角形，求得AC=BC，根据三角形的中位线的性质得到CF=$\frac{1}{2}$BF，根据全等三角形的性质得到EF=GF，于是得到四边形BGCE是平行四边形；
（2）①成立，如图丙，过E作EM⊥CA交CA的延长线于M，得到△CEM是等腰直角三角形，得到∠M=45°，CE=ME，由（1）证得∠B=45°，根据平行线的性质得到∠FCD=∠B=45°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②如图丁，过E作EM⊥CD交AC的延长线于M，得到∠M=45°，由（1）证得△ACB是等腰直角三角形，证得∠AMN=∠FCE=45°，得到CE=EM根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）①如图甲，连接AC，过C作CH⊥AB于H，
则四边形ADCH是正方形，
∴CH=AH=CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴BH=CH，
∴∠B=45°，
∵∠D=90°，AD=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ACD=45°，
过点E作EM⊥CD交AC于M，则△CEM是等腰直角三角形，
∴∠AME=180°-45°=135°，CE=ME，
∵∠B=45°，DC∥AB
∴∠FCE=180°-45°=135°，
∴∠AME=∠FCE=135°，
∵∠D=90°，EM⊥CD，
∴AD∥EM，
∴∠AEM=∠DAE，
∴∠AEM=∠CEF，
在△AEM和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠CEF}\\{CE=ME}\\{∠AME=∠FCE}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△FCE（ASA），
∴AE=EF；
②∵△AEM≌△FCE
∴AM=CF，
∵AH=CH=BH=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ACB=90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∵点E为线段DC的中点，EM∥AD，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC，
∴CF=$\frac{1}{2}$BF，
∵CD∥AB，
∴CE∥BG，
∴∠CEF=∠G，
在△ECF与△GBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CEF=∠G}\\{∠EFC=∠BFG}\\{CF=BF}\end{array}\right.$G
∴△CEF≌△BMF，
∴EF=GF，
∵CF=BF，
∴四边形BGCE是平行四边形；

（2）①成立，如图丙，过E作EM⊥CA交CA的延长线于M，
则△CEM是等腰直角三角形，
∴∠M=45°，CE=ME，
由（1）证得∠B=45°，
∵CD∥AB，
∴∠FCD=∠B=45°，
∴∠M=∠ECF，
∵EF⊥AE，
∴∠MEC=∠AEF=90°，
∴∠MEA=∠CEF，
在△AEM和△FEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠CEF}\\{CE=ME}\\{∠AME=∠FCE}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△FCE（ASA），
∴AE=EF；
②成立，
如图丁，过E作EM⊥CD交AC的延长线于M，
∵CD=AD，∠D=90°，
∴∠MCE=∠ACD=45°，
∴∠M=45°，
由（1）证得△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴∠AMN=∠FCE=45°，
∵∠ACB=∠AEF=90°，∠ANC=∠ENF，
∴∠MAE=∠CFE，
∵∠M=∠MCE=45°，
∴CE=EM，
在△AME与△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠FCE}\\{∠MAE=∠F}\\{EM=CE}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△FCE，
∴AE=EF．

点评 本题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的直线辅助线是解题的关键．