Question

已知直线y=-

3

4

x+6和双曲线y=

x

k

（k＞0）在第一象限内交于两点A，B，
（1）求实数k的取值范围；
（2）若△AOB的面积S为12，求k的值．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）由于直线y=-

3

4

x+6与与双曲线y=

x

k

在第一象限交于两点A，B，则方程组

y=- 3 4 x+6 y= k x

有两组解，消去y得到关于x的一元二次方程，根据判别式的意义得到△＞0，解得k的范围，根据反比例函数k＞0，于是得到k的取值范围；
（2）设直线y=-

3

4

x+6与x，y轴分别交与点C，D，根据S_△AOB=S_△COD-S_△AOD-S_△BOC，可得出k的值．

解答：解：（1）∵直线y=-

3

4

x+6与与双曲线y=

x

k

在第一象限交于两点A，B，
∴A（

12-2 36-3k

3

，

36-3k

2

+3），B（

12+2 36-3k

3

，-

36-3k

2

+3），
∴方程组

y=- 3 4 x+6 y= k x

有两组解，
∴关于x的一元二次方程3x²-24x+4k=0的判别式△=（-24）²-4•3•4k＞0，
解得k＜12，
∵k＞0，
∴k的取值范围为0＜k＜12．
（2）设直线y=-

3

4

x+6与x，y轴分别交与点C，D，
∴C（8，0），D（0，6），
∵S_△AOB=S_△COD-S_△AOD-S_△BOC，
∴12=

1

2

×6×8-

1

2

×6×

12-2 36-3k

3

-

1

2

×8×（-

36-3k

2

+3），
整理得

36-3k

=3，
解得k=9．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．