Question

15．如图，已知锐角△ABC中，边BC长为6，高AD长为8，两动点M，N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN．设正方形的边长为x．
（1）若正方形MPQN的顶点P、Q在边BC上，求MN的长；
（2）设正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0），当x是多少时，公共部分的面积y最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定定理得到△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（2）根据相似三角形的性质分别计算出三种情况下公共部分的面积，比较即可．

解答 解：（1）如图1，∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，即$\frac{x}{6}$=$\frac{8-x}{8}$，
解得，x=$\frac{24}{7}$，即MN的长为$\frac{24}{7}$；
（2）公共部分分三种情况，
在三角形内部、一边在BC上，正方形一部分在三角形的外部，
显然在内部的面积比刚好在边上时要小，所以比较后两种情形时的面积大小，
当PQ在BC边上时，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积y=（$\frac{24}{7}$）²=$\frac{576}{49}$，
当PQ在△ABC的外部时，正方形的边长x的范围是$\frac{24}{7}$＜x＜6，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，即$\frac{x}{6}$=$\frac{8-KD}{8}$，
解得，KD=8-$\frac{4}{3}$x，
∴公共部分的面积y=x×（8-$\frac{4}{3}$x）=-$\frac{4}{3}$x²+8x=-$\frac{4}{3}$（x-3）²+12，
当x＞3时，y随x的增大而减小，
∴当x=$\frac{24}{7}$时，公共部分的面积最大，最大值是$\frac{576}{49}$，
则当x是$\frac{24}{7}$时，公共部分的面积y最大，最大值是$\frac{576}{49}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．