Question

14．已知点P（x₀，y₀）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式d=$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$计算．
例如：求点P（-1，2）到直线y=3x+7的距离．
解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．
所以点P（-1，2）到直线y=3x+7的距离为：
d=$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|3×（-1）-2+7|}{\sqrt{1+{3}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点P（1，-1）到直线y=x-1的距离；
（2）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y=$\sqrt{3}$x+9的位置关系并说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接代入点到直线的距离公式计算即可；
（2）计算点Q到直线y=$\sqrt{3}$x+9的距离与半径r对比即可得出结论．

解答 解：（1）因为直线y=x-1，其中k=1，b=-1．
所以点P（1，-1）到直线y=x-1的距离为：
d=$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|1×1-（-1）+（-1）|}{\sqrt{1+{1}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）⊙Q与直线y=$\sqrt{3}$x+9的位置关系为：相切；
理由如下：
圆心Q（0，5）到直线y=$\sqrt{3}$x+9的距离为：d=$\frac{|\sqrt{3}×0-5+9|}{\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{4}{2}$=2，
∵半径r为2，即d=r，
∴⊙Q与直线y=$\sqrt{3}$x+9相切．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、点P到直线y=kx+b的距离公式，也属于阅读材料问题，给定一个新的定义，根据要求运用新的定义解决问题，本题直接运用公式代入计算即可，第二问要与学过的知识相结合，解决问题．