己知如图.在直角坐标系中.矩形ABCD.点A.点C.直线l:y=x以每秒1个单位的速度沿y轴向上运动.运动的时间为t秒．试解决下列问题:,(2)直线1与矩形ABCD有交点.试求t的取值范围,(3)是否存在某个时间t.直线l把矩形ABCD的周长分为1:3两个部分?若存在.求出时间t,若不存在.请说明理由,(4)当直线1向上运动与矩形ABCD有交点时.设直线在矩形内部扫� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

己知如图，在直角坐标系中，矩形ABCD，点A（3，6），点B（5，6），点C（5，10），直线l：y=x以每秒1个单位的速度沿y轴向上运动，运动的时间为t秒．试解决下列问题：
（1）点D的坐标（3，10）；
（2）直线1与矩形ABCD有交点，试求t的取值范围；
（3）是否存在某个时间t，直线l把矩形ABCD的周长分为1：3两个部分？若存在，求出时间t；若不存在，请说明理由；
（4）当直线1向上运动与矩形ABCD有交点时，设直线在矩形内部（包括矩形的边）扫过的面积为s，请直接写出s与运动时间t的函数关系．

分析（1）由B、C点的坐标得出BC∥y轴，结合四边形ABCD为矩形，可得出BC∥AD∥y轴，CD∥AB∥x轴，从而得出D点的坐标；
（2）结合矩形ABCD的顶点坐标和直线l的初始位置，可知与B点横坐标相同的直线l上的点的坐标为（5，5），与A点横坐标相同的直线l上的点的坐标为（3，3），根据运动的时间=路程÷速度，即可找出t的取值范围；
（3）假设存在，随着点的位置不同，分三种情况考虑，结合直线的斜率为1与矩形顶点坐标的特点可得出各边的长度，从而能够找出什么时候直线l把矩形ABCD的周长分为1：3两个部分；
（4）分类情况同（3）利用直角三角形与直角梯形的面积公式即可找出s与t之间的关系式．

解答解：（1）设点D的坐标为（x，y），
∵四边形ABCD为矩形，且点B（5，6），点C（5，10），
∴BC∥AD∥y轴，CD∥AB∥x轴，
∴有x=3，y=10．
故答案为：（3，10）．
（2）结合图形可知，直线y=x沿y轴向上运动时，最先经过B点，最后经过D点，
令x=5，则y=x=5，6-5=1；
令x=3，则y=x=3，10-3=7．
故若直线1与矩形ABCD有交点，点t的取值范围为1≤t≤7．
（3）假设存在，令直线y=x+t与矩形的两个交点为M、N（M在N的左边）．
AD=BC=10-6=4，AB=CD=5-3=2，
以M、N点所在的位置分三种情况来考虑：
①M点在线段AB上，N点在线段BC上时，如图1所示．

此时NB=t-1，MB=t-1，
∴CN=BC-NB=5-t，AM=AB-MB=3-t．
∵0≤AM≤AB，即0≤3-t≤2，
∴1≤t≤3．
∵直线l把矩形ABCD的周长分为1：3两个部分，
∴有AD+CD+AM+CN=3（MB+NB），即4+2+5-t+3-t=3×（t-1+t-1），
解得：t=$\frac{5}{2}$；
②M点在线段AD上，N点在线段BC上时，如图2所示．

显然在此范围内直线l不能把矩形ABCD的周长分为1：3两个部分；
③M点在线段AD上，N点在线段CD上时，如图3所示．

此时AM=t-3，DM=AD-AM=7-t，DN=DM=7-t，CN=CD-DN=t-5，
∵0≤DN≤DC，即0≤7-t≤2，
∴5≤t≤7．
∵直线l把矩形ABCD的周长分为1：3两个部分，
∴AB+BC+AM+CN=3（DM+DN），即2+4+t-3+t-5=3×（7-t+7-t），
解得：t=$\frac{11}{2}$．
综上可知：存在某个时间t，直线l把矩形ABCD的周长分为1：3两个部分，时间t为$\frac{5}{2}$或$\frac{11}{2}$秒．
（4）同（3）可分三种情况考虑：
①1≤t≤3时，如图1，
此时NB=t-1，MB=t-1．
s=$\frac{1}{2}$NB•MB=$\frac{1}{2}$×（t-1）×（t-1）=$\frac{1}{2}$t²-t+$\frac{1}{2}$；
②3＜t＜5时，如图2所示，
此时NB=t-1，MA=NB-AB=t-1-2=t-3．
s=$\frac{1}{2}$（NB+MA）•AB=$\frac{1}{2}$×（t-1+t-3）×2=2t-4；
③5≤t≤7时，如图3所示，
此时DN=DM=7-t．
s=AB•BC-$\frac{1}{2}$DN•DM=2×4-$\frac{1}{2}$×（7-t）×（7-t）=-$\frac{1}{2}$t²+7t-$\frac{33}{2}$．
综上得：s与运动时间t的函数关系为s=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{t}^{2}-t+\frac{1}{2}（1≤t≤3）}\\{2t-4（3＜t＜5）}\\{-\frac{1}{2}{t}^{2}+7t-\frac{33}{2}（5≤t≤7）}\end{array}\right.$．

点评本题考查了矩形的性质、一元一次方程的应用、周长的定义、三角形的面积公式以及直角梯形的面积公式，解题的关键是：（1）找出矩形各边分别平行于x轴、y轴；（2）代入x值求点的坐标；（3）利用周长的关系找出关于t的一元一次方程；（4）根据三角形和梯形的面积公式找出s关于t的关系式．本题属于中档题，难度不大，（1）（2）较简单；（3）需要结合图形点的变化将时间t进行分段讨论；（4）其实可以和（3）并在一起求解．