Question

14．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点M、N分别是边AC、AB的中点，点D是线段BM的中点．
（1）求证：$\frac{CN}{AB}=\frac{CD}{MB}$；
（2）求∠NCD的余切值．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）过M作MN⊥AB于H，由直角三角形的性质得到CN=AN=$\frac{1}{2}$AB，由等腰三角形的性质得到∠ACN=∠A=30°，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点N分别是边AB的中点，点D是线段BM的中点，
∴$\frac{CN}{AB}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{CD}{MB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CN}{AB}=\frac{CD}{MB}$；

（2）过M作MN⊥AB于H，
∵点N分别是边AB的中点，
∴CN=AN=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ACN=∠A=30°，
∴∠NCD=∠MCD-30°=∠CMB-30°=∠MBA，
∴设BC=2k，则MA=$\sqrt{3}$k，MH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$k，HB=4k-$\frac{3}{2}$k=$\frac{5}{2}$k，
∴cos∠NCD=$\frac{HB}{MH}$=$\frac{\frac{5}{2}k}{\frac{\sqrt{3}}{2}k}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．