Question

10．（列方程（组）及不等式解应用题）
春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．

Answer 1

分析 （1）设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，根据“购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元”可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出两种商品的单价；
（2）设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100-m）件，根据“甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍”可列出关于m的一元一次不等式，解不等式可得出m的取值范围，再设卖完甲、乙两种商品商场的利润为w，根据“总利润=甲商品单个利润×数量+乙商品单个利润×数量”即可得出w关于m的一次函数关系上，根据一次函数的性质结合m的取值范围即可解决最值问题．

解答 解：（1）设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，
依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y=270}\\{3x+2y=230}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=30}\\{y=70}\end{array}\right.$，
答：甲种商品每件的进价为30元，乙种商品每件的进价为70元．
（2）设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100-m）件，
由已知得：m≥4（100-m），
解得：m≥80．
设卖完甲、乙两种商品商场的利润为w，
则w=（40-30）m+（90-70）（100-m）=-10m+2000，
∴当m=80时，w取最大值，最大利润为1200元．
故该商场获利最大的进货方案为甲商品购进80件、乙商品购进20件，最大利润为1200元．

点评 本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系找出w关于m的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组、不等式或函数关系式）是关键．