Question

9．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，AD与OC交于点E，连接CD、OD，给出以下四个结论：
①AC∥OD；②CE=OE；③∠CDE=∠COD；④2CD²=CE•AB．
其中正确结论的序号是①③④（在横线上填上你认为所有正确结论的代号）．

Answer 1

分析 ①根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD=∠ADO即可；
②由①得OE：EC=OD：AC，再由OD≠AC，可得CE≠OE；
③根据圆周角定理得到∠CDE=$\frac{1}{2}$∠AOC=45°，根据角平分线的定义得到∠DAO=22.5°，求得∠COD=2∠CAD=45°，等量代换得到∠CDE=∠COD；
④根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠COD=45°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠CDE=45°，再求证△CED∽△CDO，利用其对应变成比例即可得出结论．

解答 解：∵AB是半圆直径，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，故①正确．

由题意得，OD=R，AC=$\sqrt{2}$R，
∵OE：CE=OD：AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OE≠CE，故②错误；

∵AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，
∴∠AOC=∠COB=90°，
∴∠CDE=$\frac{1}{2}$∠AOC=45°，
∵OA=OC，
∴∠CAO=45°，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠DAO=22.5°，
∴∠COD=2∠CAD=45°，
∴∠CDE=∠COD；故③正确；

∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圆直径，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已证），
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，
∴△CED∽△CDO，
∴$\frac{CD}{CO}=\frac{CE}{CD}$，
∴CD²=CO•CE=$\frac{1}{2}$AB•CE，
∴2CD²=CE•AB，故④正确．
综上可得①③④正确．
故答案为：①③④，

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点的灵活运用，此题步骤繁琐，但相对而言，难易程度适中，很适合学生的训练是一道典型的题目．