Question

8．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于E点，D为BC的中点．求证：DE与⊙O相切．

Answer 1

分析 先判断出，∠2=∠A，∠3=∠1，进而判断出∠1=∠2，即可判断出△OED≌△OBD即可得出DE⊥OE，即可得出结论．

解答 解：连接OD，OE，
∵O，D分别是AB，BC中点，
∴OD∥AC，
∴∠2=∠A，∠3=∠1，
∵OA=OE，
∴∠A=∠3，
∴∠1=∠2，
在△OED和△OBD中，$\left\{\begin{array}{l}{OE=OB}\\{∠1=∠2}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△OED≌△OBD，
∴∠OED=∠ABC=90°，
∴DE⊥OE，
∵点D在⊙O上，
∴DE与⊙O相切．

点评 此题是切线的判定，主要考查了平行线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出，△OED≌△OBD．