Question

9．如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC边于D，
（1）求证：BC²=AC•CD；
（2）若AD=BC，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，∠BAC=36°，得∠ABC=∠C=72°，再由BD平分∠ABC，得∠ABD=∠CBD=36°，因此△ABC∽△BDC；
（2）设BD为x，证出AD=BC=AD=x，得出CD=AC-AD=1-x，由（1）得：BC²=AC•CD得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：CD=AC：BC，
∴BC²=AC•CD；
（2）解：设BD为x，
∵∠ABD=∠CBD=36°=∠A，
∴AD=BD，
∵AD=BC，
∴AD=BC=AD=x，
∴CD=AC-AD=1-x，
由（1）得：BC²=AC•CD，
∴x²=1×（1-x），
解得：x=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$（负值舍去），
∴BD=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．