Question

7．已知，如图，四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形，连接BE、AF，求证：∠EHF=45°．

Answer 1

分析 连接AC、CF，如图，先利用正方形的性质得∠DAC=∠ACB=∠ACE=∠ECF=45°，AC=$\sqrt{2}$BC，CF=$\sqrt{2}$CE，则∠ACF=90°，于是可根据相似三角形的判定方法可判断△BCE∽△ACF，所以∠EBC=∠FAC=45°，然后根据三角形内角和可得∠AHB=∠ACB=45°，所以∠EHF=45°．

解答 证明：连接AC、CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形，
∴∠DAC=∠ACB=∠ACE=∠ECF=45°，AC=$\sqrt{2}$BC，CF=$\sqrt{2}$CE，
∴∠ACF=∠ACE+∠ECF=90°，
∵$\frac{AC}{CB}$=$\sqrt{2}$，$\frac{CF}{CE}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AC}{CB}$=$\frac{CF}{CE}$，
而∠BCE=∠ACF，
∴△BCE∽△ACF，
∴∠EBC=∠FAC=45°，
∵∠1=∠2，
∴∠AHB=∠ACB=45°，
∴∠EHF=45°．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．解决问题的关键是构建△ACF与△BCE相似．