Question

3．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM、BM．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）若将（1）中的抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线过点（2，3）？

Answer 1

分析 （1）由抛物线的顶点在y轴上可是抛物线的解析式为y=ax²+c，将y=0、x=2代入直线AB中求出x、y的值，由此即可得出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可得出抛物线的解析式；
（2）找出当x=0时y的值，由此得出点M的坐标，利用两点间的距离求出AM、AB、BM，再根据AB²+AM²=20=BM²，利用勾股定理的逆运用即可得出△ABM是直角三角形；
（3）根据a的值以及顶点坐标可以找出平移后的抛物线的解析式，将点（2，3）代入其中找出关于m的方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线的顶点M在y轴上，
∴设抛物线的解析式为y=ax²+c，
当y=0时，有x+1=0，解得：x=-1，
∴A（-1，0）；
当x=2时，y=2+1=3，
∴B（2，3）．
将A（-1，0）、B（2，3）代入y=ax²+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=a+c}\\{3=4a+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-1．
（2）△ABM是直角三角形，理由如下：
当x=0，y=-1，
∴M（0，-1）．
∵A（-1，0）、B（2，3），
∴AB=3$\sqrt{2}$，AM=$\sqrt{2}$，BM=2$\sqrt{5}$，
∵AB²+AM²=20=BM²，
∴△ABM是直角三角形．
（3）由已知得：平移后的抛物线解析式为y=（x-m）²+2m，
∵点（2，3）在该抛物线上，
∴3=（2-m）²+2m，
解得：m=1．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，解题的关键是：（1）求出点A、B的坐标；（2）求出AB、AM、BM的长度；（3）找出关于m的方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．