Question

13．如图1，四边形ABCD是正方形，AB=4，点G在BC边上，BG=3，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．
（1）求BF和DE的长；
（2）如图2，连接DF、CE，探究并证明线段DF与CE的数量关系与位置关系．

Answer 1

分析 （1）如图1，先利用勾股定理计算出AG=5，再利用面积法和勾股定理计算出BF=$\frac{12}{5}$，AF=$\frac{16}{5}$，然后证明△ABF≌△DAE得到DE=AF=$\frac{16}{5}$；
（2）作CH⊥DE于H，如图2，先利用△ABF≌△DAE得到AE=BF=$\frac{12}{5}$，则EF=$\frac{4}{5}$，与（1）的证明方法一样可得△CDH≌△DAE，则CH=DE=$\frac{16}{5}$，DH=EF=$\frac{12}{5}$，EH=DE-DH=$\frac{4}{5}$，于是可判断EH=EF，接着证明△DEF≌△CHE，所以DF=CE，∠EDF=∠HCE，然后利用三角形内角和得到∠3=∠CHD=90°，从而判断DF⊥CE．

解答 解：（1）如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=4，∠BAD=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠BFA=90°，
在Rt△ABG中，AG=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$•AG•BF=$\frac{1}{2}$•AB•BG，
∴BF=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠DAE=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
在△ABF和△DAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFA=∠AED}\\{∠ABF=∠DAE}\\{AB=DA}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE，
∴DE=AF=$\frac{16}{5}$；
（2）DF=CE，DF⊥CE．理由如下：
作CH⊥DE于H，如图2，
∵△ABF≌△DAE，
∴AE=BF=$\frac{12}{5}$，
∴EF=AF-AE=$\frac{4}{5}$，
与（1）的证明方法一样可得△CDH≌△DAE，
∴CH=DE=$\frac{16}{5}$，DH=EF=$\frac{12}{5}$，
∴EH=DE-DH=$\frac{4}{5}$，
∴EH=EF，
在△DEF和△CHE中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CH}\\{∠DEF=∠CHE}\\{EF=HE}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△CHE，
∴DF=CE，∠EDF=∠HCE，
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠CHD=90°，
∴DF⊥CE．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．解决问题的关键是利用三角形全等证明线段相等．