Question

8．[问题提出]
在判定两个三角形全等时，除根据一般三角形全等判定定理外，还有“HL”方法．类似的，我们对直角三角形相似的条件进行探索．
（1）[提出猜想]
除根据一般三角形相似判定的条件外，请你提出类似于“HL”的判定直角三角形相似的方法，并用文字描述为：斜边和一条直角边对应成比例的两直角三角形相似．
（2）[初步思考]
其中，我们不妨将问题用符号语言表示为：如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}$，则△ABC∽△DEF，请给予证明．
（3）[深入研究]
若图中的∠C=∠F＞90°，其他条件不变，两个三角形是否相似？试利用以上探究的结论解决问题，若相似请证明，若不相似，请画出反例．

Answer 1

分析 （1）借助“HL”直接得出结论；
（2）先构造出△A'C'B∽△ACB，进而判断出Rt△A'C'B≌Rt△DFE即可得出结论；
（3）先构造出△AGC∽△DHF，借助（2）的结论即可得出结论．

解答 解：（1）斜边和一条直角边对应成比例的两直角三角形相似，
故答案为：斜边和一条直角边对应成比例的两直角三角形相似；
（2）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若 $\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}$，则△ABC∽△DEF．


理由：在BA上取一点A'使BA'=DE，过点A'作AC'∥AC交BC于C'，
∴∠A'C'B=∠C=90°=∠F，△A'C'B∽△ACB，
∴$\frac{A'B}{AB}=\frac{A'C'}{AC}$，
∵$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}$，
∴$\frac{A'B}{A'C'}=\frac{DE}{DF}$，
∵BA'=DE，
∴A'C'=DF
在Rt△A'C'B和Rt△DFE中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=A'B}\\{DF=A'C'}\end{array}\right.$，
∴Rt△A'C'B≌Rt△DFE（HL），
∵△A'C'B∽△ACB，
∴△DFE∽△ACB；
故答案为若 $\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}$；
（3）成立，如图2，

过点A作AG⊥BC交BC的延长线于G，过点D作DH⊥EF交EF的延长线于H，
∴∠G=∠H=90°，
∵∠ACB=∠DFE，
∴∠ACG=∠DFH，
∴△AGC∽△DHF，
∴$\frac{AC}{DF}=\frac{AG}{DH}$，
∵$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AG}{DH}$，
用（2）的结论得，△ABC∽△DEF．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了类比的思想，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是构造相似三角形，是一道中等难度的中考常考题．