Question

18．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是$\widehat{AC}$上的一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=$\frac{4}{5}$，则AE的长是1．

Answer 1

分析 根据圆周角定理得到∠D=90°，根据勾股定理求出BD、证明△ADE∽△BCE，得到BE=5AE，根据勾股定理计算即可．

解答 解：在等腰Rt△ABC中，BC=4，
∴AB是⊙O的直径，AB=4$\sqrt{2}$，
∴∠D=90°，
∵AD=$\frac{4}{5}$，AB=4$\sqrt{2}$，
∴BD=$\frac{28}{5}$，
∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{1}{5}$，即BE=5AE，
在Rt△BCE中，CE²+BC²=BE²，即（4-AE）²+4²=（5AE）²，
解得，AE=1，
故答案为：1．

点评 本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．