Question

18．如图，∠AOB=90°，且点A，B分别在反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＜0），y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）的图象上，且k₁，k₂分别是方程x²-x-6=0的两根．
（1）求k₁，k₂的值；
（2）连接AB，求tan∠OBA的值．

Answer 1

分析 （1）解方程x²-x-6=0求出方程两根，即可得到k₁，k₂的值；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D．易证△ACO∽△ODB，由相似三角形的性质可求出OA：OB的值，进而可求出tan∠OBA的值．

解答 解：（1）∵k₁，k₂分别是方程x²-x-6=0的两根，
∴解方程x²-x-6=0，得x₁=3，x₂=-2．结合图象可知：k₁＜0，k₂＞0，
∴k₁=-2，k₂=3．  
（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D．
由（1）知，点A，B分别在反比例函数y=-$\frac{2}{x}$（x＜0），y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象上，
∴S_△ACO=$\frac{1}{2}$×|-2|=1，S_△ODB=$\frac{1}{2}$×3=1.5．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD．
又∵∠ACO=∠ODB=90°，
∴△ACO∽△ODB．
∴$\frac{{S}_{△ACO}}{{S}_{△OBD}}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OA}{OB}$=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$（舍负取正），
即$\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴在Rt△AOB中，tan∠OBA=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确作出辅助线，构造相似三角形．