Question

17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=90°，BC=2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，设CD交AB于点F．连接AD．
（1）当α=30°时．
①求证：△BCF是等边三角形；
②求DF的长及△ADF的面积（结果保留根号）；
（2）当旋转角α为何值时，△ADF是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）①由∠ACB=90°、∠BAC=30°、∠α=30°可得∠ABC=∠BCF=60°，得证；
②RT△ABC中求出AC=DC=2$\sqrt{3}$，由①知CF=BC=2，DF=DC-CF可得；作AP⊥DF于P，在RT△ACP中求得AP=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，根据S_△ADF=$\frac{1}{2}$DF•AP计算可得；
（2）根据旋转的性质可得AC=CD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠ADF=∠DAC，再表示出∠DAF，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠AFD，然后分①∠ADF=∠DAF，②∠ADF=∠AFD，③∠DAF=∠AFD三种情况讨论求解．

解答 解：（1）①∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠α=30°，
∴∠ABC=∠BCF=60°，
∴△BCF是等边三角形；
②RT△ABC中，∵BC=2，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=4，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵△DEC是由△ACB旋转得到，
∴DC=AC=$2\sqrt{3}$，
由①知，CF=BC=2，
∴DF=DC-CF=2$\sqrt{3}$-2；
作AP⊥DF于P，

在RT△ACP中，∵∠α=30°，AC=2$\sqrt{3}$，
∴AP=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$DF•AP=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}$-2）×$\sqrt{3}$=3-$\sqrt{3}$；
（2）∵△ABC绕C点逆时针方向旋转得到△DEC，
∴AC=CD，
∴∠ADF=∠DAC=$\frac{1}{2}$（180°-α），
∴∠DAF=∠ADC-∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-α）-30°，
根据三角形的外角性质，∠AFD=∠BAC+∠DAC=30°+α，
△ADF是等腰三角形，分三种情况讨论，
①∠ADF=∠DAF时，$\frac{1}{2}$（180°-α）=$\frac{1}{2}$（180°-α）-30°，无解，
②∠ADF=∠AFD时，$\frac{1}{2}$（180°-α）=30°+α，解得α=40°，
③∠DAF=∠AFD时，$\frac{1}{2}$（180°-α）-30°=30°+α，解得α=20°，
综上所述，旋转角α度数为20°或40°．

点评 本题考查了旋转的性质、等边对等角的性质、直角三角形的有关性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于要分情况讨论．