Question

8．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是平行四边形，证明你的结论．
（2）当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD条件时，四边形EFGH是矩形．
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？矩形．

Answer 1

分析 （1）连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，FG∥BD，FG═$\frac{1}{2}$BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD的条件时，四边形EFGH是矩形；
（3）根据三角形的中位线定理和矩形的性质得出EF=FG=GH=EH即可得出结论．

解答 解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：
如图1，连结BD．
∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，
同理FG∥BD，FG=$\frac{1}{2}$BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：
如图2，连结AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是矩形；
故答案为：AC⊥BD；
（3）矩形的中点四边形是菱形．理由如下：
如图3，连结AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH=$\frac{1}{2}$BD，FG=$\frac{1}{2}$BD，EF=$\frac{1}{2}$AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH是菱形．

点评 此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判定及菱形的判定方法；熟记三角形中位线定理是解决问题的关键．