Question

19．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，$\widehat{AB}+\widehat{CD}=\widehat{AD}+\widehat{BC}$，且AB=8，CD=4，则图中两个阴影部分的面积和是15.4．（π取3.14）

Answer 1

分析 易得弧AB，CD是一个半圆弧，我们将C点转到与A点重合处，那么O、B、D′就在一条直线上，而且是一直径，所以阴影部分的面积=半圆的面积-一个直角三角形的面积，然后依面积公式计算即可．

解答 解：延长BO交⊙O于D′，连接AD′，
∵$\widehat{AB}+\widehat{CD}=\widehat{AD}+\widehat{BC}$，
∴弧AB，CD就是一个半圆弧，
则B、O、D′就在一条直线上，而且BD′是一直径，
∴∠D′AB=90°，弧AD′=弧CD，
∴AD′=CD=4，
在Rt△CAB中，由勾股定理得：BD′=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴OB=2$\sqrt{5}$，
∴阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$S_⊙O-S_△D′AB
=π×（2$\sqrt{5}$）²×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×4×8
=15.4．
故答案为：15.4．

点评 本题的关键是作辅助线，从图中看出阴影部分的面积=半圆的面积-一个直角三角形的面积．