Question

10．设y=$\frac{ax+b}{cx+d}$，a，b，c，d都是有理数，x是无理数，求证：
（1）当bc=ad时，y是有理数．
（2）当bd≠ad时，y是无理数．

Answer 1

分析 （1）把y=$\frac{ax+b}{cx+d}$变形，再由bc=ad，得出（cx+d）（cy-a）=0，根据分式有意义的条件，从而得出y是有理数；
（2）把y=$\frac{ax+b}{cx+d}$变形，再由bc≠ad，以及a，b，c，d都是有理数，x是无理数，得出y为无理数．

解答 解：（1）∵bc=ad，
∴b=$\frac{ad}{c}$，
∵y=$\frac{ax+b}{cx+d}$，
∴xcy+dy=ax+$\frac{ad}{c}$，
∴c²xy+cdy-acx-ad=0，
∴cx（cy-a）+d（cy-a）=0，
∴（cx+d）（cy-a）=0，
∵cx+d≠0（分母不为0），
∴cy-a=0，
∵a，c为有理数，
∴y为有理数；
（2）∵y=$\frac{ax+b}{cx+d}$，
∴xcy+dy=ax+b，
∴x=$\frac{b-dy}{cy-a}$，
∵x为无理数，a，b，c，d都是有理数，
∴y为无理数．

点评 本题考查了实数，以及它的分类，证明一个数是有理数或无理数是解题的关键．