Question

20．△ABC的两条高AD，BE交于点H，若BH=AC，则∠ABC=（　　）

• A． 60°
• B． 45°
• C． 60°或120°
• D． 45°或135°

Answer 1

分析 根据题意画出两个图形，证△HBD≌△CAD，推出AD=DB，推出∠DAB=∠DBA，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠ABD，即可求出答案．

解答 解：分为两种情况：
①如图1，
∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠ADC=∠BDH=90°，∠∠BEC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，∠C+∠HBD=90°，
∴∠CAD=∠HBD，
在△HBD和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HBD=∠CAD}\\{∠BDH=∠ADC=90°}\\{BH=AC}\end{array}\right.$，
∴△HBD≌△CAD（AAS），
∴BD=AD，
∵∠ADB=90°，
∴∠ABC=∠BAD=45°，
②如图2，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠HDB=∠AEH=90°，
∴∠H+∠HAE=∠C+∠HAE=90°，
∴∠H=∠C，
∵在△HBD和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HDB=∠ADC}\\{∠H=∠C}\\{BH=AC}\end{array}\right.$，
∴△HBD≌△CAD（AAS），
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠ADB=90°，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABC=180°-45°=135°；
故选：D．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，用了分类讨论思想．