Question

14．我们把形如x+$\frac{1}{x}$=m+$\frac{1}{m}$（其中x是未知数，m是常数）的方程称为互为倒数的方程，它的两个解也互为倒数，即x₁=m，x₂=$\frac{1}{m}$，利用上述结论解下列关于x的方程：
（1）2x+$\frac{1}{2x-1}$=$\frac{31}{5}$；
（2）$\frac{{x}^{2}-x+1}{x-1}$=a+$\frac{1}{a-1}$．

Answer 1

分析 根据题中的方法将各方程变形，求出解即可．

解答 解：（1）方程变形得：2x-1+$\frac{1}{2x-1}$=5+$\frac{1}{5}$，
则有2x-1=5或2x-1=$\frac{1}{5}$，
解得：x₁=3，x₂=$\frac{3}{5}$，
经检验都为分式方程的解；
（2）方程整理得：x+$\frac{1}{x-1}$=a+$\frac{1}{a-1}$，即x-1+$\frac{1}{x-1}$=a-1+$\frac{1}{a-1}$，
则有x-1=a-1或x-1=$\frac{1}{a-1}$，
解得：x₁=a，x₂=$\frac{a}{a-1}$，
经检验都为分式方程的解．

点评 此题考查了解分式方程，弄清题中的解题方法是解本题的关键．